从无限到有限：有限元法的诞生

提起有限元法（FEM，Finite Element Method），其诞生是在20世纪40年代，但其思想却可追溯至几千年前。

公元3世纪中期，魏晋数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即用圆内接正多边形的面积来无限逼近圆面积。这是人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明。从这种“化圆为直”“化整为零”的朴素思想中，可窥探到有限元法的本质精髓——想解决整体问题，首先要解决局部问题，再探究局部之间的关系，以及局部与整体和外部的关系。

刘徽

(相关资料图)

割圆术示意图

有限元法是一种求解偏微分方程边值问题近似解的方法。在近现代数学发展历程中，牛顿和莱布尼茨的积分法、高斯的加权余值法及线性代数方程组解法、拉格朗日的泛函分析、伽辽金的伽辽金法等，都为有限元法奠定了理论基础。而催生有限元法诞生的根本动因，则是实际的工程需求。

时间来到20世纪40年代，随着航空事业的快速发展，复杂的结构分析问题对计算方法提出了更高的要求。

1941年，俄罗斯裔加拿大结构工程师A.Hrennikoff在论文[1]中首次将求解域离散为晶格结构，用离散元素法来求解弹性力学问题；1943年，美国数学家柯朗（Richard Courant）在论文[2]中提出了使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解。尽管当时由于计算机尚未出现，这些研究没有引起应有的注意，但他们的工作后来被视为有限元法的开端。

A.Hrennikoff

Richard Courant

到了20世纪50年代，工程师和学者们进一步发展了早期的方法。

1952年，被美国国家工程院誉为“现代有限元法之父[3]”的美国教授克劳夫（Ray W.Clough）第一次与有限元法结缘[4]。他被聘请为波音公司summer faculty项目组的成员，从事一种delta翼结构的振动分析工作。由于该翼是三角平面形状，问题不能用基于标准梁理论的方法解决。

经历反复失败后，项目组提出了矩阵刚度法（Matrix Stiffness Method）解决方案，并于1956年发表了关于有限元的第一篇论文Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures[5]。对于工程界来说，这是一篇具有里程碑意义的论文。

而对于波音公司来说，该团队的努力为其成功研发著名的商用飞机做出了巨大贡献。从1958年的波音707到1964年的波音727，波音系列飞机可以降落在更短的跑道上，并服务更多的机场。其中波音727成为商业航空的主力军，并在60年代帮助美国航空客运量增长了三倍[6]。

1960年，克劳夫在论文The Finite Element in Plane Stress Analysis[7]中赋予了该方法一个谦逊而切中要害的名字——有限元法。在这篇文论中，克劳夫将有限元法的应用范围从飞机扩展到土木工程。

Ray W.Clough

波音727

无独有偶，20世纪50年代末，刘家峡水电站的建设任务为中国有限元法的创立提供了土壤。

为解决大坝应力计算等难题，中国数学家冯康及其所在的中国科学院计算技术研究所三室开展了数学攻关，并于1964年独立于西方创造了一整套解微分方程问题的系统化、现代化的计算方法，即有限元法。次年，冯康发表了论文《基于变分原理的差分格式》[8]，这是中国学者独立于西方创立有限元法的标志。

1997年，菲尔兹奖得主、中国科学院外籍院士丘成桐教授在清华大学作《中国数学发展之我见》报告时这样讲道：“中国近代数学能够超越西方或与之并驾齐驱的主要原因有三个……一个是陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”这是对冯康作为数学家的高度评价。

冯康

刘家峡水电站

60年代中叶至90年代初，有限元法进入黄金发展期，并在接下来的三十年多年里广泛应用于工业发展。

随着有限元理论的日趋成熟和计算机技术的迅猛发展，有限元软件如雨后春笋般涌现，CAE技术蓬勃发展。然而，中国的有限元理论及有限元软件在经历早期短暂的辉煌后，受当时环境所致，逐渐落后于西方，可惜可叹。

云道智造自主研发的通用多物理场仿真平台Simdroid是自主有限元软件的代表

时至今日，有限元法依然被认为是最有效的数值计算方法之一。各种通用或专用的有限元软件已经将有限元法转化为社会生产力，广泛应用于航空航天、石油石化、电子电器、机械制造、土木建筑等领域，为科学与工程技术的发展提供强有力的支撑。

以石油化工行业为例。液化天然气（LNG，Liquefied Natural Gas）被公认为地球上最干净的化石能源，是近年全球能源竞争的新阵地。作为低温深冷介质，LNG的安全存储对于储罐的耐低温性、抗震性等要求极高。LNG储罐是整个LNG产业链中的核心装备，其设计建造工艺复杂、造价高昂，是能源领域中的尖端技术之一。

在LNG储罐技术体系中，有限元分析方法是一项核心支撑技术。由于大型LNG储罐结构复杂多样、作业环境恶劣多变，在罐体的设计、施工及作业阶段均需要进行结构性能评估及可靠性验证。依靠基础的数学理论无法解决大型复杂结构问题，那么借助有限元手段对储罐进行强度、刚度、温度及稳定性等分析显得尤为重要。

回顾有限元法的诞生，需求是最根本的动力，有需求就会有供给。

中国的有限元软件之所以没有发展起来，是因为中国工业起步较晚，长期以来没有自主软件的内生需要。如今，中国已成为世界上最大的工业国，拥有最丰富的工业场景，在中国制造业转型升级、超大规模单一市场高质量发展的巨大需求牵引下，一定会诞生一批优秀的自主工业软件。

正如芯片领域有EDA软件，我们期待各行各业都有自己的“EDA”。

参考资料：

[1]HRENNIKOFF A.Solution of problems of elasticity by the framework method[J]. Journal of Applied Mechanics,1941,169-175.

[2]R. Courant, Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), pp.1-23.

[3]https://www.nae.edu/19579/19581/20412/29580/Dr-Ray-W-Clough

[4]有限元法起源的回顾— Clough RW在ECCM99上的演讲

http://comdyn.hy.tsinghua.edu.cn/news/542-clough

[5]Turner MJ, Clough RW, Martin HC, Topp LJ. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J Aero Sci 1956; 23:805-23.

[6]Wing Kam Liu, Shaofan Li, Harold Park. Eighty Years of the Finite Element Method: Birth, Evolution, and Future. CoRR, 2021.

[7]Clough RW. The finite element method in plane stress analysis. Proc ASCE Conf Eletron Computat, Pittsburg, PA, 1960.

[8]冯康, 基于变分原理的差分格式, 应用数学与计算数学，1965, 2 (4): 238-262