2023-06-28 01:27:16 来源 : 互联网
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(资料图)
首先，我们需要了解什么是无理数。无理数是指不能表示为两个整数的比的数，例如根号2、圆周率π等。
现在，我们来看一下5.020020002…这个数。这个数是一个无限不循环小数，也就是说它不能表示为两个整数的比。但是，我们需要证明它是无理数。
假设5.020020002…是有理数，可以表示为p/q，其中p和q是整数，且它们没有公因数。那么，我们可以将这个数表示为：
5.020020002… = p/q
将等式两边乘以q，得到：
5.020020002… × q = p
现在我们来看左边的式子。由于5.020020002…是一个无限不循环小数，因此我们可以将它表示为有限小数和无限小数的和：
5.020020002… = 5.02 + 0.0002 + 0.000002 + …
将这个式子乘以q，得到：
5.020020002… × q = 5.02q + 0.0002q + 0.000002q + …
由于5.02q是一个整数，而0.0002q、0.000002q等都是小数，因此我们可以将它们表示为分数的形式：
5.020020002… × q = A + B
其中A是一个整数，B是一个真分数（分子小于分母）。
现在我们来看一下p。由于p是一个整数，因此它可以表示为p = A + C，其中C是一个整数。将这个式子代入上面的等式中，得到：
5.020020002… × q = A + B = A + p - A = p + B
移项，得到：
B = 5.020020002… × q - p
由于p和q是互质的，因此5.020020002… × q - p也是一个互质的整数。但是，B是一个真分数，因此它的分子小于分母。这与5.020020002…是一个无限不循环小数的事实相矛盾。
因此，我们可以得出结论：5.020020002…是一个无理数。
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